LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN INGENIERIA ELECTRONICA

SERGIO ALEJANDRO AMORTEGUI GONZALEZ

UNIVERSIDAD CENTRAL

En el campo de la Ingeniería electrónica, las integrales cumplen una función muy importante, para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corriente, entre otras. Pero fundamentalmente, el cálculo integral es utilizado en circuitos RLC (resistencia, condensador y bobina) para analizar su comportamiento dentro del circuito, por ejemplo:

• Para calcular el flujo de electrones por un conductor a través del tiempo, se emplea la siguiente ecuación:

q(t)=∫i(t) dt (Siendo (q)= carga; (i) corriente) desde un tiempo t1 a t2

• Cuando queremos averiguar la energía que posee un circuito, basta con integrar la potencia del circuito de un tiempo (t1) a un tiempo (t2) de la siguiente manera:

w(t)=∫p(t) dt (Siendo W= energía; p= potencia) desde un tiempo t1 a t2

• Para averiguar el voltaje en un condensador en un tiempo determinado se tiene:

vc(t)=1/c∫ic(t) dt (Siendo Vc= voltaje en el condensador; C= valor del condensador,Ic= corriente en el condensador) con respecto al tiempo (t)

desde un tiempo t1 a t2

• Si queremos averiguar la corriente en una bobina o inductor en un tiempo determinado se tiene:

iL(t)=1/L∫vL(t) dt desde un tiempo t1 a t2

(Siendo IL= corriente en la bobina L= valor de la bobina en (mH); VL= voltaje en el inductor) con respecto al tiempo (t)

• Cuando se quiere hallar potencia a partir de un valor de resistencia y una corriente determinada, basta con hallar la integral del producto entre la resistencia por la corriente al cuadrado, así:

W(t)=∫Ri²(t) dt desde un tiempo t1 a t2

(Siendo W (t)= potencia en el tiempo,R= resistencia en Ohmios, I= corriente en amperios).

Esta es una pequeña muestra de la gran importancia que tienen las integrales en la ingeniería electrónica. Esto sin contar el cálculo de volúmenes que son fundamentales para calcular el núcleo de un transformador, para estimar el campo magnético producido. O las series y sucesiones que son importantes para estimar las dimensiones de una señal o pulso eléctrico, medido con el osciloscopio.

Establecimiento de una corriente en un circuito

Cuando se aplica una fem V₀ a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V₀/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia.

La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente.

En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo.

Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que

V_ab+V_bc+V_ca=0

Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0.

Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V₀/R muy rápidamente.